تحقیق درمورد ریاضی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 75

مقدمه

وکیلی کلاین می‌گوید:

«ریاضیات عالی‌ترین دستاورد فکری و اصیل‌ترین ابداع ذهن آدمی است. موسیقی می‌تواند روح را برانگیزد یا آدم سازد، نقاضش می‌تواند چشم نواز باشد، شعر می‌تواند عواطف را تحریک کند، فلسفه می‌تواند ذهن را قانع و راضی سازد، مهندس می‌تواند زندگی مادی آدمی را بهبودبخشد، اما ریاضیات همه این ارزشها را عرضه می‌کند.»

ریاضیات چیست؟

عده‌ای می‌گویند ریاضیات چیزی است که ریاضی دانان انجام میدهند و متشکل از همه حوزه‌های مربوط به موضوع‌های کلی، هندسی یا منطقی است که شامل آمار، علوم کامپیوتر، منطق، ریاضیات کاربردی، آموزشی ریاضیات و فلسفه ریاضیات است بنجامین پرسی پدر چارلز پرسی، ریاضیات را بعنوان علمی که نتایج ضروری بدست می‌دهد تعریف کرده بر طبق دیدگاه انسان گرایی هوشی، جهانی از ایده‌ها در آگاهی مشترک انسانها وجود دارد. این ایده‌ها و شاخه‌ای از دانشی که به مطالعه این ایده‌ها می‌پردازد، ریاضیات نامیده می‌شود.

فیلسوف مشهور هائووانگ می‌گوید:

بارزترین خصوصیات ریاضی، قطعیت، تجرد و دقت، دامنه وسیع کاربردها، و زیبایی بی پیرایه آن است این دقت و قطعیت به میزان زیادی به علت مجرد بودن آن است که تا اندازه‌ای کاربرد پذیری گسترده آن را نیز توضیح می‌دهد. اما ارتباط نزدیک با دنیای فیزیکی خصوصیتی اساسی است که ریاضیات را از بازی صرف با نمادها متمایز می‌سازد. ریاضیات منطبق است بر تمامی آن چه در علم، دقیق محسوب می‌شود.

به نظر گانت، ریاضیات به وسیله شهودمحض، معین می‌شود، بنابراین تصور چیزی مخالف با ریاضیات غیر ممکن است. همه می‌دانیم ؟؟؟؟ به گزافه گویی عادت کرده بود. وی با این استدلال که ایجاد شک بهترین راه جلب توجه به ایده‌های جدید است، از کار خود دفاع می‌کرد. ما نیز در وضعی مشابه امید داریم بتوانیم افکار و ایده‌های مبهم خود را با بررسی چند دیدگاه یک جانبه از ریاضیات روشن سازیم.

1ـ ریاضیات رده گزاره‌های (منطقاً) معتبر یا ضروری « را ایجاب می‌کند» است به این ترتیب، به ازای هر قضیه داده شده q، می‌توانیم ترکیب عطفی اصول موضوع به کار رفته در برهان را با p نمایش می‌دهیم و در این صورت «q,p را ایجاب می‌کند» قضیه‌ای در منطق مقدماتی خواهد بود. به این مفهوم تا حدی سطحی، تمام ریاضیات را می‌توان به منطق مقدماتی تحویل کرد. اما در حقیقت این نظریه چیز مناسبی در مورد ریاضیات نمی‌گوید.

2ـ ریاضیات نظریه اصل موضوعی مجموعه‌هاست. به مفهومی صریح، تمام ریاضیات می‌تواند از نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ه ا استنتاج شود این دیدگاه موافق با نظر فرگه و راسل مبنی بر تحویل ریاضیات به منطق و نیز بطور تناقض آمیزی موافق با نظر پوآنکاره مبنی بر حساب؟؟؟؟؟ ریاضیات(یعنی تحویل آن به اعداد و مجموعه‌های عددی) است چندین ایراد به این دیدگاه وارد است. چنان که می‌دانیم اشکالاتی در مبانی نظریه مجموعه‌ها وجود دارد. این دیدگاه قادر نیست درکی شهودی از ریاضیات را آن چنان که یک ریاضیدان بزرگ دارد برای ما توصیه کند.

3ـ ریاضیات مطالعه ساختارهای مجرد است. به نظر می‌رسد که این دیدگاه بود باکی باشد. تعدادی کتاب با نفوذی در اثبات این نظریه نوشته شده است. در این کتابها کوششی آگاهانه برای رها ساختن ریاضیات از کاربردهای آن انجام شده است، که در مجموع کار و دستی نیست. همچنین یک ناسازگاری اساسی وجود دارد، بدین معنی که در حد کلمات، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها به عنوان زیر بنا در نظر گرفته میشود ولی در عمل، تحقیقات گوناگونی که در زمینه مبانی ریاضیات صورت می‌گیرد موردت بی اعتنایی این ایده هنگامی با طرز فکر متداول مطابقت بیشتری می‌داشت که عدد، مجموعه و تابع از طریقی شهودی‌تر مطرح می‌گردیدند.

4ـ ریاضیات سرعت بخشیدن به محاسبات است در این تعریف محاسبات تنها به نوع عددی آن محدود نمی‌شود. اعمال جبری و کار با عبارات منطقی نیز مشمول در این تعریف است. یک دیدگاه وسیع‌تر اینست که بگوییم هر بخش مهم از ریاضیات باید دارای محتوای الگوریتمی باشد. یک ایده متفاوت ولی مربوط می‌تواند این باشد که تمام ریاضیات برای کمک به علوم و کمک به ما برای فهمیدن، کنترل طبیعت است. ممکنست گفته شود که در فعالیت‌های ریاضی عنصری به نام انسان نیز وجود دارد، و بنابراین مهم است که حتی در کاربردها نیز وضعیت قابل فهمی داشته باشیم بنابراین یک برهان ظریف‌تنر از بهتر درک می‌کنیم،‌و از این طریق به طور غیر مستقیم، خواهیم توانست در جستجوی الگوریتم‌های کارآمدتری باشیم.

1ـ1ـ بیان موضوع

«آموزشی» امری است که مستقیماً با انسان سروکار دارد و از این رو به بررسی آن نیازمند به روان شناسی، جامعه شناسی و حتی فلسفه است. مهم‌ترین مساله در آموزش، «یادگیری» است. یادگیری یعنی چه؟ چگونه رخ میدهد؟ و چگونه میتوان آنرا ارزیابی کرد؟ این پرسشها،

تحقیق درمورد ریاضی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 75

مقدمه

وکیلی کلاین می‌گوید:

«ریاضیات عالی‌ترین دستاورد فکری و اصیل‌ترین ابداع ذهن آدمی است. موسیقی می‌تواند روح را برانگیزد یا آدم سازد، نقاضش می‌تواند چشم نواز باشد، شعر می‌تواند عواطف را تحریک کند، فلسفه می‌تواند ذهن را قانع و راضی سازد، مهندس می‌تواند زندگی مادی آدمی را بهبودبخشد، اما ریاضیات همه این ارزشها را عرضه می‌کند.»

ریاضیات چیست؟

عده‌ای می‌گویند ریاضیات چیزی است که ریاضی دانان انجام میدهند و متشکل از همه حوزه‌های مربوط به موضوع‌های کلی، هندسی یا منطقی است که شامل آمار، علوم کامپیوتر، منطق، ریاضیات کاربردی، آموزشی ریاضیات و فلسفه ریاضیات است بنجامین پرسی پدر چارلز پرسی، ریاضیات را بعنوان علمی که نتایج ضروری بدست می‌دهد تعریف کرده بر طبق دیدگاه انسان گرایی هوشی، جهانی از ایده‌ها در آگاهی مشترک انسانها وجود دارد. این ایده‌ها و شاخه‌ای از دانشی که به مطالعه این ایده‌ها می‌پردازد، ریاضیات نامیده می‌شود.

فیلسوف مشهور هائووانگ می‌گوید:

بارزترین خصوصیات ریاضی، قطعیت، تجرد و دقت، دامنه وسیع کاربردها، و زیبایی بی پیرایه آن است این دقت و قطعیت به میزان زیادی به علت مجرد بودن آن است که تا اندازه‌ای کاربرد پذیری گسترده آن را نیز توضیح می‌دهد. اما ارتباط نزدیک با دنیای فیزیکی خصوصیتی اساسی است که ریاضیات را از بازی صرف با نمادها متمایز می‌سازد. ریاضیات منطبق است بر تمامی آن چه در علم، دقیق محسوب می‌شود.

به نظر گانت، ریاضیات به وسیله شهودمحض، معین می‌شود، بنابراین تصور چیزی مخالف با ریاضیات غیر ممکن است. همه می‌دانیم ؟؟؟؟ به گزافه گویی عادت کرده بود. وی با این استدلال که ایجاد شک بهترین راه جلب توجه به ایده‌های جدید است، از کار خود دفاع می‌کرد. ما نیز در وضعی مشابه امید داریم بتوانیم افکار و ایده‌های مبهم خود را با بررسی چند دیدگاه یک جانبه از ریاضیات روشن سازیم.

1ـ ریاضیات رده گزاره‌های (منطقاً) معتبر یا ضروری « را ایجاب می‌کند» است به این ترتیب، به ازای هر قضیه داده شده q، می‌توانیم ترکیب عطفی اصول موضوع به کار رفته در برهان را با p نمایش می‌دهیم و در این صورت «q,p را ایجاب می‌کند» قضیه‌ای در منطق مقدماتی خواهد بود. به این مفهوم تا حدی سطحی، تمام ریاضیات را می‌توان به منطق مقدماتی تحویل کرد. اما در حقیقت این نظریه چیز مناسبی در مورد ریاضیات نمی‌گوید.

2ـ ریاضیات نظریه اصل موضوعی مجموعه‌هاست. به مفهومی صریح، تمام ریاضیات می‌تواند از نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ه ا استنتاج شود این دیدگاه موافق با نظر فرگه و راسل مبنی بر تحویل ریاضیات به منطق و نیز بطور تناقض آمیزی موافق با نظر پوآنکاره مبنی بر حساب؟؟؟؟؟ ریاضیات(یعنی تحویل آن به اعداد و مجموعه‌های عددی) است چندین ایراد به این دیدگاه وارد است. چنان که می‌دانیم اشکالاتی در مبانی نظریه مجموعه‌ها وجود دارد. این دیدگاه قادر نیست درکی شهودی از ریاضیات را آن چنان که یک ریاضیدان بزرگ دارد برای ما توصیه کند.

3ـ ریاضیات مطالعه ساختارهای مجرد است. به نظر می‌رسد که این دیدگاه بود باکی باشد. تعدادی کتاب با نفوذی در اثبات این نظریه نوشته شده است. در این کتابها کوششی آگاهانه برای رها ساختن ریاضیات از کاربردهای آن انجام شده است، که در مجموع کار و دستی نیست. همچنین یک ناسازگاری اساسی وجود دارد، بدین معنی که در حد کلمات، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها به عنوان زیر بنا در نظر گرفته میشود ولی در عمل، تحقیقات گوناگونی که در زمینه مبانی ریاضیات صورت می‌گیرد موردت بی اعتنایی این ایده هنگامی با طرز فکر متداول مطابقت بیشتری می‌داشت که عدد، مجموعه و تابع از طریقی شهودی‌تر مطرح می‌گردیدند.

4ـ ریاضیات سرعت بخشیدن به محاسبات است در این تعریف محاسبات تنها به نوع عددی آن محدود نمی‌شود. اعمال جبری و کار با عبارات منطقی نیز مشمول در این تعریف است. یک دیدگاه وسیع‌تر اینست که بگوییم هر بخش مهم از ریاضیات باید دارای محتوای الگوریتمی باشد. یک ایده متفاوت ولی مربوط می‌تواند این باشد که تمام ریاضیات برای کمک به علوم و کمک به ما برای فهمیدن، کنترل طبیعت است. ممکنست گفته شود که در فعالیت‌های ریاضی عنصری به نام انسان نیز وجود دارد، و بنابراین مهم است که حتی در کاربردها نیز وضعیت قابل فهمی داشته باشیم بنابراین یک برهان ظریف‌تنر از بهتر درک می‌کنیم،‌و از این طریق به طور غیر مستقیم، خواهیم توانست در جستجوی الگوریتم‌های کارآمدتری باشیم.

1ـ1ـ بیان موضوع

«آموزشی» امری است که مستقیماً با انسان سروکار دارد و از این رو به بررسی آن نیازمند به روان شناسی، جامعه شناسی و حتی فلسفه است. مهم‌ترین مساله در آموزش، «یادگیری» است. یادگیری یعنی چه؟ چگونه رخ میدهد؟ و چگونه میتوان آنرا ارزیابی کرد؟ این پرسشها،

تحقیق درمورد ریاضی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 24

فهرست

عنوان صفحه

1-1) مقدمه 2

2-1) عملیات ریاضی 7

1-2-1) معکوس ضرب 10

3-1) سیستم اعدادمبنای در هم وابسطه 12

4-1) تبدیل اعداد به سیستم اعداد مانده‌ای و برعکس 22

1-4-1-) تبدیل اعداد از سیستم باینری به سیستم مانده‌ای 24

5-1) انتخاب پیمانه 26

سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

سیستم اعداد مانده‌ای یک سیستم اعداد صحیح است، که مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود، متأسفانه در سیستم اعداد مانده‌ای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و کند هستند از مشکلات دیگر سیستم اعداد مانده‌ای این است که چون با سیستم اعداد صحیح کار می‌کند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد مانده‌ای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد مانده‌ای نتیجه می‌گیریم که در اهداف عمومی کامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت کاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از کاربرها که اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی که اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.

1-1) مقدمه

سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یک مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یک مبنای واحد مثل از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر کدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یک عدد بر آن‌ها است.عدد صیح X در سیستم اعداد مانده‌ای بوسیلة یک N -تائی مثل نمایش داده می‌شود که هر یک عدد غیرمنفی صحیح است که در رابطة زیر صادق است:

X

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة‌

بزرگترین عدد صحیحی است بطوریکه معروف است به باقیمانده X به پیمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد هر دو و با یک مفهوم استفاده می‌شوند.

مثال 1-1 سیستم اعدادمانده‌ای 2- باقیمانده‌ای با پیمانه‌های را ملاحظه کنید در این سیستم نمایش عدد صحیح x=5 به صورت نمایش داده می‌شود که و از رابطه‌های زیر بدست می‌آیند.

چونکه

چونکه

تحقیق درمورد ریاضی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 24

فهرست

عنوان صفحه

1-1) مقدمه 2

2-1) عملیات ریاضی 7

1-2-1) معکوس ضرب 10

3-1) سیستم اعدادمبنای در هم وابسطه 12

4-1) تبدیل اعداد به سیستم اعداد مانده‌ای و برعکس 22

1-4-1-) تبدیل اعداد از سیستم باینری به سیستم مانده‌ای 24

5-1) انتخاب پیمانه 26

سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

سیستم اعداد مانده‌ای یک سیستم اعداد صحیح است، که مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود، متأسفانه در سیستم اعداد مانده‌ای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و کند هستند از مشکلات دیگر سیستم اعداد مانده‌ای این است که چون با سیستم اعداد صحیح کار می‌کند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد مانده‌ای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد مانده‌ای نتیجه می‌گیریم که در اهداف عمومی کامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت کاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از کاربرها که اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی که اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.

1-1) مقدمه

سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یک مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یک مبنای واحد مثل از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر کدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یک عدد بر آن‌ها است.عدد صیح X در سیستم اعداد مانده‌ای بوسیلة یک N -تائی مثل نمایش داده می‌شود که هر یک عدد غیرمنفی صحیح است که در رابطة زیر صادق است:

X

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة‌

بزرگترین عدد صحیحی است بطوریکه معروف است به باقیمانده X به پیمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد هر دو و با یک مفهوم استفاده می‌شوند.

مثال 1-1 سیستم اعدادمانده‌ای 2- باقیمانده‌ای با پیمانه‌های را ملاحظه کنید در این سیستم نمایش عدد صحیح x=5 به صورت نمایش داده می‌شود که و از رابطه‌های زیر بدست می‌آیند.

چونکه

چونکه

تحقیق درمورد ریاضی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 75

مقدمه

وکیلی کلاین می‌گوید:

«ریاضیات عالی‌ترین دستاورد فکری و اصیل‌ترین ابداع ذهن آدمی است. موسیقی می‌تواند روح را برانگیزد یا آدم سازد، نقاضش می‌تواند چشم نواز باشد، شعر می‌تواند عواطف را تحریک کند، فلسفه می‌تواند ذهن را قانع و راضی سازد، مهندس می‌تواند زندگی مادی آدمی را بهبودبخشد، اما ریاضیات همه این ارزشها را عرضه می‌کند.»

ریاضیات چیست؟

عده‌ای می‌گویند ریاضیات چیزی است که ریاضی دانان انجام میدهند و متشکل از همه حوزه‌های مربوط به موضوع‌های کلی، هندسی یا منطقی است که شامل آمار، علوم کامپیوتر، منطق، ریاضیات کاربردی، آموزشی ریاضیات و فلسفه ریاضیات است بنجامین پرسی پدر چارلز پرسی، ریاضیات را بعنوان علمی که نتایج ضروری بدست می‌دهد تعریف کرده بر طبق دیدگاه انسان گرایی هوشی، جهانی از ایده‌ها در آگاهی مشترک انسانها وجود دارد. این ایده‌ها و شاخه‌ای از دانشی که به مطالعه این ایده‌ها می‌پردازد، ریاضیات نامیده می‌شود.

فیلسوف مشهور هائووانگ می‌گوید:

بارزترین خصوصیات ریاضی، قطعیت، تجرد و دقت، دامنه وسیع کاربردها، و زیبایی بی پیرایه آن است این دقت و قطعیت به میزان زیادی به علت مجرد بودن آن است که تا اندازه‌ای کاربرد پذیری گسترده آن را نیز توضیح می‌دهد. اما ارتباط نزدیک با دنیای فیزیکی خصوصیتی اساسی است که ریاضیات را از بازی صرف با نمادها متمایز می‌سازد. ریاضیات منطبق است بر تمامی آن چه در علم، دقیق محسوب می‌شود.

به نظر گانت، ریاضیات به وسیله شهودمحض، معین می‌شود، بنابراین تصور چیزی مخالف با ریاضیات غیر ممکن است. همه می‌دانیم ؟؟؟؟ به گزافه گویی عادت کرده بود. وی با این استدلال که ایجاد شک بهترین راه جلب توجه به ایده‌های جدید است، از کار خود دفاع می‌کرد. ما نیز در وضعی مشابه امید داریم بتوانیم افکار و ایده‌های مبهم خود را با بررسی چند دیدگاه یک جانبه از ریاضیات روشن سازیم.

1ـ ریاضیات رده گزاره‌های (منطقاً) معتبر یا ضروری « را ایجاب می‌کند» است به این ترتیب، به ازای هر قضیه داده شده q، می‌توانیم ترکیب عطفی اصول موضوع به کار رفته در برهان را با p نمایش می‌دهیم و در این صورت «q,p را ایجاب می‌کند» قضیه‌ای در منطق مقدماتی خواهد بود. به این مفهوم تا حدی سطحی، تمام ریاضیات را می‌توان به منطق مقدماتی تحویل کرد. اما در حقیقت این نظریه چیز مناسبی در مورد ریاضیات نمی‌گوید.

2ـ ریاضیات نظریه اصل موضوعی مجموعه‌هاست. به مفهومی صریح، تمام ریاضیات می‌تواند از نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ه ا استنتاج شود این دیدگاه موافق با نظر فرگه و راسل مبنی بر تحویل ریاضیات به منطق و نیز بطور تناقض آمیزی موافق با نظر پوآنکاره مبنی بر حساب؟؟؟؟؟ ریاضیات(یعنی تحویل آن به اعداد و مجموعه‌های عددی) است چندین ایراد به این دیدگاه وارد است. چنان که می‌دانیم اشکالاتی در مبانی نظریه مجموعه‌ها وجود دارد. این دیدگاه قادر نیست درکی شهودی از ریاضیات را آن چنان که یک ریاضیدان بزرگ دارد برای ما توصیه کند.

3ـ ریاضیات مطالعه ساختارهای مجرد است. به نظر می‌رسد که این دیدگاه بود باکی باشد. تعدادی کتاب با نفوذی در اثبات این نظریه نوشته شده است. در این کتابها کوششی آگاهانه برای رها ساختن ریاضیات از کاربردهای آن انجام شده است، که در مجموع کار و دستی نیست. همچنین یک ناسازگاری اساسی وجود دارد، بدین معنی که در حد کلمات، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها به عنوان زیر بنا در نظر گرفته میشود ولی در عمل، تحقیقات گوناگونی که در زمینه مبانی ریاضیات صورت می‌گیرد موردت بی اعتنایی این ایده هنگامی با طرز فکر متداول مطابقت بیشتری می‌داشت که عدد، مجموعه و تابع از طریقی شهودی‌تر مطرح می‌گردیدند.

4ـ ریاضیات سرعت بخشیدن به محاسبات است در این تعریف محاسبات تنها به نوع عددی آن محدود نمی‌شود. اعمال جبری و کار با عبارات منطقی نیز مشمول در این تعریف است. یک دیدگاه وسیع‌تر اینست که بگوییم هر بخش مهم از ریاضیات باید دارای محتوای الگوریتمی باشد. یک ایده متفاوت ولی مربوط می‌تواند این باشد که تمام ریاضیات برای کمک به علوم و کمک به ما برای فهمیدن، کنترل طبیعت است. ممکنست گفته شود که در فعالیت‌های ریاضی عنصری به نام انسان نیز وجود دارد، و بنابراین مهم است که حتی در کاربردها نیز وضعیت قابل فهمی داشته باشیم بنابراین یک برهان ظریف‌تنر از بهتر درک می‌کنیم،‌و از این طریق به طور غیر مستقیم، خواهیم توانست در جستجوی الگوریتم‌های کارآمدتری باشیم.

1ـ1ـ بیان موضوع

«آموزشی» امری است که مستقیماً با انسان سروکار دارد و از این رو به بررسی آن نیازمند به روان شناسی، جامعه شناسی و حتی فلسفه است. مهم‌ترین مساله در آموزش، «یادگیری» است. یادگیری یعنی چه؟ چگونه رخ میدهد؟ و چگونه میتوان آنرا ارزیابی کرد؟ این پرسشها،